Sprungmarken

Servicenavigation

Hauptnavigation

Sie sind hier:

Hauptinhalt

Themenangebote für Bachelor-Arbeiten

Aktuelle Themen

Download der Präsentation (pdf).

 

Übersicht

 

Details

1. Exakte Diagonalisierung und Dichtematrix-Renormierung

Neben analytischen Methoden sind numerische Methoden essentiell in der modernen Physik. In der Theorie der kondensierten Materie ist die Dichtematrix-Renormierung eine sehr kraftvolle Methode, die auf Steven R. White zurückgeht, und auf im Wesentlichen eindimensionale Systeme zugeschnitten ist.

Will man ein quantenmechanisches System komplett beschreiben, so ist ein Weg, alle Eigenwerte zu bestimmen. Das geht aber nur bei sehr kleinen Systemen mittels der so genannten Exakten Diagonalisierung. Möchte man zu größeren Systemen vorstoßen, so ist es eine möglicher Trick, einen Großteil des Hilbertraumes wegzulassen, um ein einfaches, d.h. genügend kleines, System zu behalten. Dabei soll aber nur ein möglichst kleiner Fehler gemacht werden. Welche Zustände kann man also am ehesten weglassen? Das kann man mit Hilfe der Eigenwerte einer Dichtematrix entscheiden.

Ziel der Bachelorarbeit ist es, den oben skizzierten Gedankengang im Detail nachzuvollziehen. An einfachen Beispielen soll Diagonalisierung und Dichtematrix-Renormierung illustriert werden.

  • S. R. White
    Density Matrix Formulation for Quantum Renormalization Groups (pdf)
    Physical Review Letters 69, 2863 (1992)
  • S. R. White
    Density-Matrix Algorithms for Quantum Renormalisation Groups (pdf)
    Physical Review B 48, 10345 (1993)
  • R. Noack und S. White
    The Density Matrix Renormalization Group (zur Ausleihe/Ansicht vorhanden)
    Kapitel 2 in "Density-Matrix Renormalization", Herausgeber Ingo Peschel, Xiaoqun Wang, Matthias Kaulke und Karen Hallberg
    Springer Lecture Notes in Physics 528 (1998)

 

2. Optimierte Pulse für Quanteninformationsverarbeitung und NMR

In der theoretischen Beschreibung sind Kontrollpulse Terme im Hamiltonoperator, die zeitweilig dazugeschaltet werden. Man verwendet sie, um gezielt den Zustand eines quantenmechanischen Systems zu beeinflussen. Hier betrachten wir immer einen Spin S=1/2 (NMR) bzw. ein so genanntes Quantenbit oder kurz Qubit (Quanteninformation).

In der Praxis wirkt nie nur der Kontrollpuls auf das Qubit sondern auch eine ungewollte, aber nicht völlig unterdrückbare, Wechselwirkung mit der Umgebung. Durch geschickte Wahl der Pulsform, z.B. einer Amplitude als Funktion der Zeit v(t), kann man den Effekt der Umgebung mindern. Wir haben Gleichungen aufgestellt, die beschreiben, wann ein Puls in diesem Sinne optimal ist.

Ziel der Bacheolorarbeit ist es, diese Gleichungen für verschiedene Pulse explizit auszuwerten und nach günstigen Pulsen zu suchen. Technisch sind dafür ein- und zweidimensionale Integrationen notwendig, die teils mit Computeralgebra-Programmen teils mit C-Programmen effizient gelöst werden können.

  • S. Pasini, T. Fischer, P. Karbach, und G. S. Uhrig
    Optimization of short coherent control pulses (pdf)
    Physical Review A 77, 032315 (2008)
  • S. Pasini, P. Karbach, C. Raas und G. S. Uhrig
    Optimized pulses for the perturbative decoupling of spin and decoherence bath (pdf)
    Physical Review A 80, 022328 (2009)

 

3. Quartischer Oszillator: Vom V- zum W-Potential

Durch eine geschickte Wahl der Basis kann man quantenmechanische Problem sehr vereinfachen. Ein besonders elegantes Verfahren dafür basiert auf stetigen unitären Transformationen (CUT von continuous unitary transformations). Anschaulich entspricht eine CUT einer Drehung. Ein wichtiger Punkt ist, wie man dreht, d.h. welche Drehachse man benutzt. Bie Hamiltonoperatoren heißt die Drehachse „Generator”.

Technisch muss man einen Kommutator berechnen und ein Differentialgleichungssystem von ca. 3 bis 12 Variablen lösen. Letzteres kann man mit mit jedem Computeralgebra-Programm wie Maple oder Mathematica bewerkstelligen. Von der Quantenmechanik her sollte man wissen, was ein Grundzustand ist und was ein Aufsteiger und Absteiger (bzw. Erzeuger oder Vernichter) in einem harmonischen Oszillator ist.

Ziel ist es dann, neben einem harmonisches Potential auch ein quartisches Potential zu beschreiben, das eine ausgeprägte Doppelmuldenform (wie ein W) besitzt. Dabei können verschiedene Generatoren ausprobiert und verglichen werden, die dann auch für die Anwendungen in der Forschung relevant sind.

  • S. Dusuel und G. S. Uhrig
    The Quartic Oscillator: A Non-Perturbative Study by Continuous Unitary Transformations (pdf)
    Journal of Physics A 37, 9275 (2004)

 

4. Zeitentwicklung korrelierter Systeme

Die kohärente Kontrolle von Quantensysteme ist in vielen Experimenten wesentlich, z.B. für hochgenaue Kernspinresonanz oder die Quanteninformationsverarbeitung. Zur Optimierung von kohärenter Kontrolle gibt es viele Vorschläge, speziell unserer Arbeitsgruppe, die aber vor einer experimentellen Realisierung an einfachen Modellen überprüft werden müssen. Dazu wird die Zeitentwicklung korrelierter Systeme benötigt, z.B. von einigen (3 bis 6) Spins.

Ziel der Bacheolorarbeit ist es, die Zeitentwicklung solcher Systeme aus wenigen Spins zu berechnen. Dazu wird eine Basis gewählt und man überlegt sich, welcher Matrix der Hamiltonoperator in der gewählten Basis entspricht. Diese wird dann numerisch mit bekannten implementierten Algorithmen (in Matlab, Maple, Mathematica oder C) zu diagonalisieren. Damit ist dann die Schrödingergleichung gelöst.

Auf diese Art können verschiedene Sequenzen und Pulse getestet werden und das analytische Verhalten bestätigt oder verworfen werden.

  • G. S. Uhrig
    Keeping a Quantum Bit Alive by Optimized π-Pulse Sequences (pdf)
    Physical Review Letters 98, 100504 (2007)
  • P. Karbach, S. Pasini und G. S. Uhrig
    Numerical analysis of optimized coherent control pulses (pdf)
    Physical Review A 78, 022315 (2008)

 

5. Monte-Carlo-Simulationen des Isingmodells

Simulationen bestehen darin, das physikalische Geschehen direkt im Rechner nachzubilden. Monte-Carlo-Simulationen erreichen das durch statistische Methoden. Eine Standardanwendung ist die Beschreibung von kontinuierlichen Phasenübergängen. Das einfachste Modell hierfür ist das Isingmodell.

Ziel der Bachelorarbeit ist es, das Isingmodell in einer und zwei Dimensionen statistisch zu simulieren. Es sollen einige Eigenschaften als Funktion der Temperatur ermittelt werden, zum Beispiel die innere Energie oder die spezifische Wärme. Interessant ist die Charakterisierung des Phasenübergangs durch die Bestimmung der Übergangstemperatur und kritischer Exponenten. Die selbst erhaltenen Ergebnisse sollen mit den exakt bekannten Ergebnissen verglichen werden.

  • Werner Krauth
    Statistical Mechanics: Algorithms and Computations (zur Ausleihe/Ansicht vorhanden)
    Oxford Master Series in Statistical, Computational, and Theoretical Physics
    Oxford University Press, 2006