Jan Kierfeld

Technische Universität Dortmund
Wintersemester 2015/2016
3-stündig mit 1-stündiger Übung

• LSF-Eintrag
• moodle-Arbeitsraum

Ort, Zeit

• Mi, 14-16 c.t., Raum P1-O2-111, 2 Stunden Vorlesung
• Fr, 10-12 c.t., Raum P1-O2-323, 1 Stunde Vorlesung, 1 Stunde Übung

Skript

im moodle-Arbeitsraum gibt es das handgeschriebene Skript.

Übungen

Die Übungsblätter gibt es ebenfalls im moodle-Arbeitsraum.

Inhalt

Kritische Phänomene

• 1. Motivation, Geschichte [21.10.15(1)]
• 2. Phasenübergänge [23.10.15(2)]
  
  • 2.1 Phasen
  • 2.2 Thermodynamische Stabilität
    Stabilitätsbedingungen für thermodyn. Potentiale, Konvexität
  • 2.3 Koexistenz von Phasen
    konvexe Hülle und Phasentrennung, Maxwell-Konstruktion, metastabile Phasen
  • 2.4 Phasendiagramme, Clausius-Clapeyron
  • 2.5 Klassifikation von Phasenübergängen
    Lee-Yang Nullstellen und Abwesenheit von Phasenübergängen in endlichen Systemen, diskontinuierlich und kontinuierliche PÜ
  • 2.6 Beispiele: Phasenübergänge, kritische Punkte, Ordnungsparameter
• 3. Mean-Field Theorien
  
  • 3.1 Ising-Modell [23.10.15(2),28.10.15(3)]
    Bragg-Williams-Theorie, mittleres Feld, kritische Exponenten
  • 3.2 Variationsansatz für MF-Theorien [28.10.15(3),30.10.15(4)]
    Gibbs-Bogoliubov Ungleichung, Beispiel Ising-Modell
  • 3.3 Landau-Theorie [30.10.15(4),6.11.15(5)]
    Landau-Theorie: Entwicklung im OP, Symmetrien
    Landau-Theorie für Ising-Modell, Φ⁴-Modell,
    kritische Exponenten α,β,γ,δ, weitere Modelle (Heisenberg, XY, n-Vektor,...),
    Landau-Theorie für Flüssigkristalle
  • 3.4 Räumliche Fluktuationen in MF-Theorie [11.11.15(6),13.11.15(7),18.11.15(8),20.11.15(9),25.11.15(10)]
    Ising-Modell: Korrelationsfunktionen, Kumulanten, Korrelationslänge, Exponenten ν, η, Ornstein-Zernicke Korrelationsfunktion,
    Ginzburg-Landau MF-Theorie, Φ⁴-Modell mit Gradiententerm,
    Funktionalableitung, Ornstein-Zernicke Suzeptibilität/Korrelationen,
    Domämenwände,
    Goldstone-Moden,
    GL-Theorie des Supraleiters: GL-Gleichungen, Meissner-Effekt,
    London-Eindringtiefe, Anderson-Higgs-Mechanismus, Flussquantisierung, Typ I/II Supraleiter
• 4. Fluktuationen
  
  • 4.1 Ginzburg-Kriterium [25.11.15(10)]
    Ordnungsparameterfluktuationen im GL-Modell, Ginzburg-Zahl, obere kritische Dimension 4
  • 4.2 Ginzburg-Landau Feldtheorie [25.11.15(10),27.11.15(11),2.12.15(12)]
    GL-Funktional als effektiver Hamiltonian (corase-graining), Funktionalintegral über OP-Feld,
    Berechnung von Gauß-Funktionalintegralen in Orts-, Fourierraum,
    MF-Theorie als Sattelpunkt
  • 4.3 Gaußsche Fluktuationen [2.12.15(12),4.12.15(13),11.12.15(14)]
    Gaußsche Fluktuationen um MF-Sattelpunkt,
    Beitrag zu spezifischer Wärme, Ginzburg-Kriterium, obere kritische Dimension 4,
    Korrelationen und Momente in Orts-, Fourierraum,
    erzeugende Fuktionale, Wick-Theorem
  • 4.4 Untere kritische Dimension [11.12.15(14),16.12.15(15)]
    Untere kritische Dimension der Φ⁴-Theorie,
    Goldstone-Moden und unt. krit. Dimension 2 für n≥2 (Mermin-Wagner),
    Domänenwände und unt. krit. Dimension 1 für Ising (n=1)
  • 4.5 Störungstheorie [16.12.15(15),18.12.15(16),6.1.16(17)]
    Störungstheorie für Φ⁴-Term im Fourierraum,
    Diagrammatik, Feynman-Diagrammregeln,
    Selbstenergie und Dyson-Gleichung,
    selbstkonsistente Hartree-Näherung, Shift in T_c und Exponent γ,
    Zusammenfassung bisherige krit. Exponenten
• 5. Skalenhypothese
  
  • 5.1 Homogenität der freien Energie [8.1.16(18)]
    Homogenitäts-Skalenrelation für freie Energie, daraus Relationen für spez. Wärme, Magnetisierung, Suszeptibilität,
    Exponentenrelationen (Rushbrooke, Widom)
  • 5.1 Korrelationslänge [13.1.16(19)]
    Homogenitäts-Skalenrelation für ξ,
    Hyperscaling-Relation (Josephson)
  • 5.2 Korrelationen [13.1.16(19)]
    Skaleneigenschaften der Korrelationsfunktion,
    Fisher-Exponentenrelation, Selbstähnlichkeit
• 6. Renormierungsgruppe (RG)
  
  • 6.1 RG: Idee und allgemeine Methode [13.1.16(19),15.1.16(20)]
    Ausintegration/Deizimierung plus Reskalierung/Renormierung,
    RG-Trafo als Gruppe, Fixpunkte als kritische Punkte, RG der Korrelationslänge,
    Linearisierung um Fixpunkt und Exponenten, Skalenfelder und anomale Dimension,
    (ir)relevante Operatoren, kritische Hyperfläche, Universalität,
    Homogenitätsrelationen, Probleme bei RG
  • 6.2 1d Ising-Modell [15.1.16(20),20.1.16(21)]
    Transfermatrix und Dezimierung, RG-Trafo,
    Fixpunkte, RG-Fluss, Exponenten,
    Korrelationslänge, freie Energie,
    β-Funktion, kontinuierlicher RG-Fluss
  • 6.3 Migdal-Kadanoff-RG für d-dim. Ising [20.1.16(21),22.1.16(22)]
    Migdal-Kadanoff Bond-Verschiebung und RG-Trafo,
    β-Funktion, Fixpunkte, RG-Fluss, Exponenten
  • 6.4 Impulsschalen-RG für Gaußsches Modell [27.1.16(23)]
    Idee der feldtheoretischen Impulsschalen-RG, Reskalieren und Feld-Renormierung,
    RG-Fluss, Gaußscher Fixpunkt und Exponenten,
    Relevant von Störungen am Gaußschen Fixpunkt
  • 6.5 Pertubative RG des Φ⁴-Modells, ε-Entwicklung [27.1.16(23),29.1.16(24),5.2.16(25),10.2.16(26)]
    Problem der diagrammatischen Störungstheorie,
    Diagrammatische Impulsschalen-RG des Φ⁴-Modells, Ausintegrieren, Reskalieren und Feld-Renormierung,
    RG-Trafo in 1.Ordnung, ε=4-d als Kontrollparameter,
    RG-Trafo in 2.Ordnung, neuer pertubativer Fixpunkt, neue kritische Exponenten als Funktion von ε und n
• 7. Phasenübergänge in d=2
  
  • 7.1 Nicht-lineares σ-Modell [12.2.16(27)]
    Definition σ-Modell, Nichtlinearität durch festen Ordnungsparameter-Betrag,
    RG-Fluss d<2 und d>2, d=2 (n>2 und n<2)
  • 7.2 XY-Modell, Kosterlitz-Thouless Übergang [12.2.16(27),17.2.16(28)]
    Definition XY-Modell (d=2,n=2), Gaußsche Spinwellen-Fluktuationen, Quasiordnung Potenzgesetz Spinkorrelationen,
    Vortizes als zusätzliche topologische Anregungen,
    Energie und freie Energie eines isolierten Vortex, kritische Temperatur,
    Wechselwirkung mehrer Vortizes, Spinwellen und Vortexanteil des Hamiltonian, Vortexanteil als 2D Coulombgas,
    Ortsraum-RG für 2D Coulombgas,
    kritische Temperatur, universeller Sprung in J (Spinkorrelationen), Temperaturabhängigkeit der Korrelationslänge

Synopsis

Die Vorlesung könnte auch "Thermodynamik und Statistik II" heißen und soll fortgeschrittene Themen aus der statistischen Physik behandeln. Der Schwerpunkt wird eine tiefergehende Behandlung kritischer Phänomene und kritischen Skalenverhaltens mit Hilfe der Renomierungsgruppe sein. Es soll gezeigt werden, wie Skalengesetze und Universalität an einem kritischen Punkt theoretisch erklärt werden können. Hier sollen zunächst verschiedene Mean-field Theorien und Landau-Theorien besprochen werden. Dann sollen räumliche und statistische Fluktuationen in Rahmen der Ginzburg-Landau Theorie behandelt werden. Dies führt auf das Ginzburg-Kriterium und schließlich auf Renormierungsgruppenrechnungen. Hier sollen verschiedene Ansätze wie Ortsraumrenormierung und Impulsraumrenormierung (ε-Entwicklung um obere kritische Dimension) für Spinmodelle und die Φ⁴-Ginzburg-Landau Theorie diskutiert werden. Dazu wird eine Einführung in klassische feldtheoretische Methoden der statistischen Physik notwendig sein. Weitere Beispiele werden topologische Defekte und Kosterlitz-Thouless-Übergänge sein.

Eventuell werden im Anschluss noch ungeordnete Systeme (wie Spingläser) und/oder dynamische kritische Systeme betrachtet.

Voraussetzungen

Kenntnis der Vorlesung Thermodynamik und statistische Physik wird vorausgesetzt, daher richtet sich die Vorlesung an Studenten ab dem 7. Semester. Theoretische Festkörperphysik ist keine Voraussetzung.

Literatur

1. F. Schwabl, Statistische Mechanik, Springer
2. M. Kardar, Statistical Physics of Fields, Cambridge University Press
   see also MIT opencourseware Statistical Physics of Fields (and Statistical Physics of Particles)
3. P.M. Chaikin and T.C. Lubensky, Principles of condensed matter physics , Cambridge University Press, Cambridge
4. J.J. Binney, N.J. Dorwick, A.J. Fisher, M.E.J. Newman, The Theory of Critical Phenomena: An Introduction to the Renormalization Group , Clarendon Press
5. M.E. Fisher, The renormalization group in the theory of critical behavior , Rev. Mod. Phys. 46, 597-616 (1974).
6. C. Domb, The critical point , Taylor &amp Francis

Klausur

Mündliche Modulprüfung am Ende des Semesters