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Thermodynamik und Statistik WS2012/13

Jan Kierfeld

Technische Universität Dortmund
Wintersemester 2012/2013
4-stündig mit 2-stündiger Übung

 

 

Ort, Zeit, Organisatorisches

Vorlesung:

  • Di 14:15-15:45, Hörsaal 2 (HG II)
  • Do 10:15-11:45, Hörsaal 7 (HG II)

Anforderungen für die Modulprüfung und Übungen

 

Übungen

Gruppen

Gruppe 1 Mi, 10-12 SRG 3.012 Björn Zelinski, Sebastian Knoche
Gruppe 2 Mo, 10-12 SRG 3.013 Gregor Foltin, Christian Kleine
Gruppe 3 Di, 9-10 P2-E0-414 Sebastian Fey, Nin Müller
Gruppe 4 Mo, 10-12 P1-O2-323 Kris Cöster, Nils Drescher
Gruppe 5 Di 10-12 P1-O2-111 Horst-Holger Boltz, Tobias Kampmann

 

Übungen

8.10.2012: Übung 0 (Präsenzübung)
11.10.2012: Übung 1
18.10.2012: Übung 2
25.10.2012: Übung 3
1.11.2012: Übung 4
8.11.2012: Übung 5
15.11.2012: Übung 6
22.11.2012: Übung 7
29.11.2012: Übung 8
6.12.2012: Übung 9
13.12.2012: Übung 10
20.12.2012: Übung 11
10.1.2013: keine Übung wegen Klausur
17.1.2013: Übung 12

 

Skript

Latex Skript zur Thermodynamik und Statistik als pdf-file, als djvu-file

 

Synopsis

Die Vorlesung behandelt Thermodynamik und statistische Physik, also die Grundlage für das systematische Verständnis von Entropie, Temperatur, Wärme und thermischen Fluktuationen.

Die Thermodynamik ist eine phänomenologische Theorie der Eigenschaften makroskopischer Systeme im thermischen Gleichgewicht basierend auf den vier Hauptsätzen. Die mikroskopische Begründung dieser phänomenologischen Theorie aus den Gesetzen der klassischen bzw. Quantenmechanik mit Hilfe statistischer Überlegungen für Systeme mit makroskopisch vielen Freiheitsgraden (Teilchen) ist Inhalt der Statistischen Mechanik.

In der Vorlesung soll die Betonung dabei auf der (moderneren) statistischen Physik liegen. Die Thermodynamik wird aber natürlich auch als historischer und eigener Zugang vorgestellt. Der zentrale Begriff der Entropie wird in beiden Zugängen erarbeitet und deren Äquivalenz gezeigt. Darauf aufbauend wird die übrige statistische Physik und Thermodynamik erarbeitet.

 

  • 1. Organisatorisches, Einleitung, Motivation
  • 2. Wahrscheinlichkeitstheorie
    • 2.1 Definitionen
      Zufallsvariable, Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsmaß
    • 2.2 Eine Zufallsvariable
      kumulative Verteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte, Erwartungswert,
      Variablenwechsel, Momente, charakteristische Funktion,
      Kumulanten
    • 2.3 Wichtige Verteilungen
      Gaußverteilung, Binomialverteilung, charakterischtische Funktionen, Kumulanten,
      bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit,
      Poissonverteilung, Poisson-Prozess, charakt. Funktion, Kumulanten,
      Gauß und Poisson als Grenzfall der Binomialverteilung
    • 2.4 Mehrere Zufallsvariable
      gemeinsame Wahrsch.dichte, stat. Unabhängigkeit, unbedingte und bedingte Wahrsch.dichte,
      Erwartungswerte, charakteristische Funktion, Momente, Kumulanten,
      mehrdimensionale Gaußverteilung
    • 2.5 Zentraler Grenzwertsatz
      Beweis, Anwendungen: 1) Binomialverteilung, 2) Maxwellverteilung
  • 3. Boltzmanns Zugang zur Statistischen Physik
    • 3.1 Klassische Mechanik
      Phasenraum, Hamilton-Funktion, Hamiltonsche Gleichungen,
      Erhaltungsgrößen, Poisson-Klammer,
    • 3.2 Reversibilität
      Zeitumkehrinvarianz
    • 3.3 Liouville-Theorem, Poincaresches Wiederkehrtheorem
      Volumenerhaltung des Phasenflusses,
      Liouville-Gleichung für (feine) Dichte,
      Poincaresches Wiederkehrtheorem
    • 3.4 Mikro- und Makrozustand, thermisches Gleichgewicht
      Mikrozustand, Makrozustand,
      ideales Gas, μ-Raum Besetzungszahlen,
      Ergodenhypothese für Mikrozustände, max. Phasenraumvolumen im Gleichgewichtsmakrozustand,
      Maxwell-Boltzmann-Verteilung für ideales Gas,
      Fluktuationen um Gleichgewicht
    • 3.5 Kontinuumslimes, klassische Teilchen ohne Wechselwirkung
      Kontinuumslimes für klassische Teilchen ohne Wechselwirkung, Boltzmann-Verteilung:
      1) ideales Gas, thermische deBroglie-Wellenlänge,
      Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, kalorische Zust.gleichung
      2) ideales Gas im Schwerefeld, barometrische Höhenformel
    • 3.6 Boltzmann-Entropie
      Statistisches Gewicht eines Makrozustands, max. stat. Gewicht im Gleichgewichtsmakrozustand,
      Boltzmann-Entropie, Boltzmannkonstante, Faktoren h3N, N!, Additivität,
      2. Hauptsatz: Entropie nimmt zu,
      Boltzmannsche H-Funktion
  • 4. Informationsentropie, Gibbs-Entropie
    • 4.1 Informationsentropie
      Informationsübertragung und Shannon-Theorem,
      Informationsgehalt einer Wahrsch.verteilung, Shannon-Entropie,
      Gibbs-Entropie einer Phasenraumdichte,
      Äquivalenz zu Boltzmann-Entropie im Gleichgewicht
    • 4.2 Gibbs-Entropie und 2. Hauptsatz
      SB nimmt immer zu, SG für feine Dichte ist konstant,
      SG für vergröberte Dichte nimmt zu
    • 4.3 Quantensysteme
      Dichteoperator, Mittelung und Spur, Eigenschaften,
      QM Gibbs-Entropie,
      Dynamik, von-Neumann Gleichung,
      SG konstant (feine Dichte)
  • 5. Statistische Gleichgewichtsensembles
    • 5.1 Mikrokanonisches Ensemble
      Abgeschlossenes System, klassische mikrokanonische Dichte,
      Zustandssumme, Entropie S(E,N,V),
      mikrokanonischer QM Dichteoperator,
      natürliche Variable E,N,V
    • 5.2 Temperatur, Druck, chemisches Potential
      mikrokanonische Systeme in Kontakt,
      Energieasutausch, Temperaturdefinition, 0.Hauptsatz,
      Volumenaustausch und Druck, Teilchenaustausch und chemisches Potential,
      Beispiel: Ideales Gas im mikrokanonischen Ensemble,
      Entropie, thermische und kalorische Zustandsgleichungen
    • 5.3 1.Hauptsatz
      totales Differential dS im Gleichgewicht,
      Gleichgewichtsprozesse = quasistatische Prozesse,
      innere Energie, Wärme und Arbeit, 1.Hauptsatz, dE = δQ + δW,
      δW, δQ keine Zustandsgrößen, 2.Hauptsatz,
      andere Formen der Arbeit
    • 5.4 Kanonisches Ensemble
      Offenes System, E-Austausch, klassische kanonische Dichte,
      Zustandssumme, freie Energie F(T,N,V),
      kanonischer QM Dichteoperator,
      natürliche Variable T,N,V, Boltzmann-Faktor, T-Abl. von F,
      Beispiele: 1) Ideales Gas, 2) 2-Niveau System
    • 5.5 Äquivalenz der Ensembles, thermodynamische Potentiale
      Energiefluktuationen im kanonischen Ensemble, Äquivalenz zum mikrokan. Ensemble,
      Beziehung zwischen Zustandssummen, βF ist Legendre-Trafo von Smk/kB,
      Äquivalenz von Energien, Entropien,
      totales Differential dF,
      F = E-TS ist Legendre-Trafo von E,
      thermodynamische Potentiale S(E,N,V), E(S,N,V), F(T,N,V)
    • 5.6 Positivität der Temperatur
      Positivität der Temperatur, beschränkte Energiespektren, Inversionsverteilungen
    • 5.7 Gleichverteilungssatz, Virialsatz
      mitt. Energie kBT/2 pro quadratischen Freiheitsgrad,
      Virialsatz
    • 5.8 3.Hauptsatz
      3.Hauptsatz: S/N verschwindet bei T=0
    • 5.9 Großkanonisches Ensemble
      Offenes System, E- und N-Austausch, klassische großkanonische Dichte,
      Zustandssumme, großkan. Potential Φ(T,μ,V),
      μ-Abl. von Φ und Teilchenzahlfluktuationen, Äquivalenz der Ensembles,
      Φ= F -μN ist Legendre-Trafo von F ,
      totales Differential Φ
    • 5.10 Weitere Ensembles, thermodynamische Potentiale
      allgemeinertes mikrokanonisches Ensemble, allgemeines kanonisches Ensemble,
      Enthalpie H, freie Enthalpie G, Druckensembles
    • 5.11 Gibbs-Duhem Gleichung
      Gibbs-Duhem Gleichung aus Homogenität
  • 6. Thermodynamik
    • 6.1 Gleichgewicht Zustandsgrößen
      Thermodyn. Gleichgewicht, Zustandsgrößen
    • 6.2 0.Hauptsatz
      0.Hauptsatz, Definition einer Temperatur
    • 6.3 1.Hauptsatz, Arbeit, Energie, Wärme
      Arbeit, Formen der Arbeit, 1.Hauptsatz (Energieerhaltung),
      Definition der inneren Energie E, Wärme, dE = δQ + δW,
      Beispiel: Freie Expansion vs. isotherme Expansion
    • 6.4 2.Hauptsatz
      2.Hauptsatz (kein perpetuum mobile 2.Art) nach Kelvin und Clausius,
      Äquivalenz von Kelvin und Clausius
    • 6.5 Thermodynamische Prozesse
      quasistatisch, adiabatisch, isotherm, isochor, isobar, isentrop,
      reversibel, irreversibel, reversibel -> quasistatisch,
      Wärmefluss zw. untersch. T -> irreversibel, Reibung -> irreversibel,
      Carnot-Kreisprozess, Definition, Carnot mit idealem Gas,
      Arbeitsmaschinen, Wirkungsgrad, Kühlmaschinen, Wärmepumpen, Heizeffektivität,
      Wirkungsgrad Carnot-Prozess, Maximalität des Carnot-Wirkungsgrad,
      universeller Wirkungsgrad reversibler Maschinen, die zw. Bädern T2 und T1 operieren,
      Kelvin Temperaturskala
    • 6.6 Entropie
      Clausius-Theorem: ∮ δQrev/T =0 für reversiblen Prozess, ∮ δQ/T ≤0 für beliebigen Prozess,
      Entropie als Zustandsfunktion,
      2.Hauptsatz: Entropie nimmt spontan nur zu
    • 6.7 Thermodynamische Potentiale
      totales Differential dE, dS im Gleichgewicht,
      Thermodynamische Potentiale, Legendre-Trafo,
      thermodynamische Potentiale E,F,H,G nehmen spontan nur ab
    • 6.8 Abgeleitete Größen
      Spezifische Wärmekapazitäten CV, Cp,
      Kompressibilitäten κT, κS, thermischer Ausdehnungskoeffizient α,
      Zusammenhang mit E- und N- Fluktuationen
    • 6.9 Thermodynamische Relationen
      Maxwellrelationen, Jacobi-Determinanten und Kettenregel, Homogenitätsrelationen,
      Beispiele: Cp/CV, Cp-CV, κT≥ 0, ideales Gas Cp/CV
    • 6.10 3.Hauptsatz, Nernst-Theorem
      Joule-Thomson und freie Expansion als Kühlprozesse,
      spez. Wärme und Ausdehungskoeff. α verschwinden bei T=0,
      T=0 unerreichbar durch Kühlprozesse
  • 7. Thermodynamik von Phasenübergängen
    Charakterisierung der Phasen fest, flüssig, gasförmig
    • 7.1 Thermodynamische Stabilität
      S konkav als Funktion extensiver Variablen, sonst Phasentrennung,
      E,F,G,H konvex als Funktion extensiver, konkav als Funktion intensiver Variablen
    • 7.2 Koexistenz von Phasen, Phasenübergänge
      Phasenseparation bei thermodyn. Instabilität, Koexistenz zweier Phasen am Phasenübergang 1.Ordnung,
      chemische Potentiale bei Koexistenz, Phasengrenzlinie, Tripelpunkt,
      Zustandsdiagramme für fest-flüssig-gasförmig in p-T Diagramm,
      Paarverteilungsfunktion,
      PÜ 1.Ordnung und Sprung in 1.Ableitungen des TD Potentials, latente Wärme,
      Phasengrenzlinie kann in kritischem Punkt mit kontinuierlichem PÜ enden
    • 7.3 Clausius Clapeyron Gleichung
      Steigung der Phasengrenzlinie, Clausius-Clapeyron Gleichung,
      Dichteanomalie von Wasser
    • 7.4 Van-der-Waals Gas
      Van-der-Waals Zustandsgleichung für reale Gase,
      ausgeschlossenes Volumen, Binnendruck, van-der-Waals Wechselwirkung,
      Instabilität des vdW-Gas, Isothermen im p-v Diagramm und kritischer Punkt,
      Gesetz der korrespondierenden Zustände
    • 7.5 Maxwell-Konstruktion
      Konvexe Hülle von F(V) als stabiler Zustand, gemeinsame Tangente,
      stabil, metastabil, instabil,
      Maxwell-Konstruktion in p-v Diagramm,
      "Dreieck" metastabiler Zustände in G(p),
      typische Phasendiagramme in p-T und p-ρ Diagramm, Hebelregel
    • 7.6 Gibbsche Phasenregel
      Mehrkomponentige Systeme, Konzentrationen, chemische Potentiale,
      Gleichgewichtsbedingungen und Gibbsche Phasenregel,
      Beispiele: Phasengrenzlinie, Tripelpunkt, Eutektischer Punkt
  • 8. Ideale Quantengase
    Bosonen, Fermionen
    • 8.1 Klassisches ideales Gas
      im großkanonischen Ensemble,
      verdünnter Limes und Kriterien für klassisches Verhalten
    • 8.2 Ideale Quantengase
      Produktzustände, 1-Teilchen-Energien, Impulsquantenzahl und innere Quantenzahlen,
      symm. und antisymm. Produktzustände und Besetzungszahlen, N und E in Besetzungszahldarstellung,
      großkanonische Zustandssumme der idealen Quantengase,
      mittlere Besetzungszahl, Bose- und Fermi-Statistik,
      verdünnter Limes
    • 8.3 Einatomiges strukturloses Quantengas
      Umwandlung der Impulssumme in Impulsintegral,
      großkanonisches Potential und verdünnter Limes = klassischer Limes
    • 8.4 Verdünnte Gase aus mehratomigen Molekülen
      innere Freiheitsgrade: Rotationen, Schwingungen,
      klassische und QM 1-Teilchenenergien für 2-atomige Moleküle,
      großkanonisches Potential im verdünnten Limes und innere Zustandssumme,
      spez. Wärme, klassischer Limes (Gleichverteilungssatz) und Limes tiefer Temperaturen,
      Freiheitsgrade bei n-atomigen Molekülen
    • 8.5 Ideales Fermigas bei tiefen Temperaturen
      Fermiverteilung bei T=0, Fermienergie, Fermikugel, Fermiwellenvektor, Beziehung zwischen N und εF,
      Einteilchenzustandsdichte, E bei T=0, Zustandsgleichung für beliebige T, Nullpunktsdruck,
      Sommerfeldentwicklung für kleine T,
      chem. Potential, Energie und spez. Wärme für kleine T
    • 8.6 Ideales Bosegas bei tiefen Temperaturen
      Zustandsgleichungen p(z), N(z), E(z) für Bosegas und Fermigas mit Polylogarithmen,
      N(z) bei tiefer Temp. für Fermionen und Bosonen, Bedingung für Bose-Einstein Kondensation,
      kritische Temperatur, makroskopische Besetzung des Grundzustandes, Kondensatanteil,
      experimenteller Nachweis,
      B.E. Kondensation und Zustandsdichte, B.E. Kondensation nur in d>2,
      thermische Zustandsgleichung, Isothermen, Clausius-Clapeyron, Phasendiagramm, spez. Wärme für kleine T
    • 8.7 Photonengas
      Photonen als Bosonen mit μ=0, freie Energie, Energie, Strahlungsdruck,
      Plancksches Strahlungsgesetz, Rayleigh-Jeans Gesetz, Wiensches Gesetz, Verschiebungsgesetz
  • 9. Mehrkomponentige Systeme
    • 9.1 Chemische Reaktionen, Massenwirkungsgesetz
      Konzentrationen, chemische Reaktionen, ΔG und Reaktionsrichtung,
      chemische Potentiale und Bedingung für chemisches Gleichgewicht,
      Massenwirkungsgesetz für ideale Gase, verdünnte Lösungen, Gleichgewichtskonstante
    • 9.2 Mischung, kolligative Eigenschaften
      Ideale Mischungen idealer Gase, Mischungsentropie,
      chemisches Potential der Komponenten als Funktion der Konzentrationen,
      kolligative Eigenschaften: Dampfdruckerniedrigung (Raoult), Siedepunktserhöhung,
      Gefrierpunktserniedrigung, osmotischer Druck
  • 10. Statistische Physik der Phasenübergänge
    • 10.1 Ordnungsparameter
      Symmetriebruch und Ordnungsparameter,
      Beispiele: Kondensation, Schmelzen, Bosekondensation, Ferromagnet
    • 10.2 Klassifikation von Phasenübergängen
      Stetigkeit und Nicht-Analytizität thermodyn. Potentiale,
      Klassifikation diskontinuierlich/kontinuierlich: latente Wärme, Ordn.parametersprung
    • 10.3 Ising-Modell, Gittergas
      Ferromagnetisches Ising-Modell, Ordnungsparameter, Phasendiagramm,
      Äquivalenz zum Gittergas, AB-Legierung
    • 10.4 Mean-Field Theorie
      Mean-Field-Theorien des Ising Modells:
      1) mittleres Feld (Molekularfeld), selbstkonsistente MF-Gleichung, kritische Temperatur, kritische Exponenten,
      2) Bragg-Williams Theorie, MF-Energie und Mischungsentropie, MF thermodyn. Potential
    • 10.5 Landau-Theorie
      Phänomenologische Landau-Theorie, Freie Energie Entwicklung nach Ordnungsparameter und Symmetrien,
      ψ4-Theorie des Ising-Modells,
      Phasenübergang, kritische Exponenten wie in MF-Theorie, Universalität,
      Versagen von Landau-MF: obere und untere kritische Dimension
    • 10.6 Kritische Exponenten, Skaleninvarianz
      Universalität, Definition kritischer Exponenten α, β, γ, δ,
      Korrelationsfunktion, Korrelationslänge, Definition von ν, η, Skaleninvarianz,
      Ising-Exponenten,
      Skalengesetze
    • 10.7 Ising-Modell in D=1
      1dim. Ising-Modell hat keine geordnete Phase: Freie Energie einer Domänenwand, Korrelationslänge, Tc=0,
      Transfermatrixmethode, freie Energie und Eigenwerte, Frobenius-Perron,
      kein Phasenübergang in endl.-dim- Systemen, 1dim. Systemen mit kurzreichweit. Wechselwirkungen
    • 10.8 Renormierungsgruppe
      Idee der RG-Gruppe: Dezimierung durch partielle Spurbildung, Reskalierung, Iteration,
      repulsive Fixpunkte der RG-Trafo entsprechen kritischen Punkten mit ξ=∞,
      Beispiel: D=1 Ising Modell, Berechnung der (Realraum-) RG-Trafo,
      Fixpunkte T=0 (repulsiv, kritischer Pkt.), T=∞ (attraktiv, ungeordnete Phase)

 

Voraussetzungen

Integrierter Kurs I-IV.

 

Literatur

Die folgende Liste ist nur eine kleine Auswahl an Büchern:

  1. F. Schwabl, Statistische Mechanik, Springer
  2. W. Nolting, Statistische Physik, Springer
  3. W. Nolting, Spezielle Relativitätstheorie und Thermodynamik, Springer
  4. M. Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge University Press
    M. Kardar, Statistical Physics of Fields, Cambridge University Press (geht über Vorlesung hinaus)
  5. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Statistical Physics, part I, Pergamon Press
  6. D. Chandler, Introduction to modern statistical mechanics, Oxford University Press, NY
  7. R. Balian, From Microphysics to Macrophysics: Methods and Applications of Statistical Physics. Volume I and II, Springer
  8. K.A. Dill, Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology, Garland Science

 

Modulprüfung

Die abschließende Modulprüfung wird in Klausurform stattfinden.

Termin der Klausur:
Mittwoch, 16.1.2013, 15:15Uhr, HS1, HGII



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Contact

Prof. Dr. Jan Kierfeld
Arbeitsgruppenleiter
Tel.: 0231 755-3545